Dotychczas zajmowaliśmy się zderzeniami cząstek w przestrzeni jednowymiarowej. Teraz rozpatrzymy najprostszy przypadek wielowymiarowy; zajmiemy się zderzeniami sprężystymi na płaszczyźnie. Zaczniemy od analizy zderzenia sprężystego ukośnego kuli o masie \( m \) i prędkości \( v \) ze ścianą. Naszym celem jest znalezienie prędkości kuli po zderzeniu.

Ruch kuli opisujemy w układzie współrzędnych \( x \) i \( y \) związanym ze ścianą, oś \( x \) pokazuje kierunek prostopadły do ściany, y - kierunek równoległy, a początek układu umieszczamy na powierzchni ściany w punkcie zderzenia. W tak wybranym układzie współrzędnych rozkładamy na składowe wektor prędkości \( v \) ( Rys. 1 )

Na przykładzie rzutu ukośnego (moduł Rzut ukośny ) pokazaliśmy, że taki ruch na płaszczyźnie można traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe. Ruch kuli w kierunku y odbywa się równolegle do ściany, więc składowa \( v_{y} \) nie ulega zmianie przy odbiciu. Natomiast składowa prostopadła do powierzchni ściany, po zderzeniu zmienia znak na przeciwny, kula odbija się od ściany jak w przykładzie (b) w poprzednim rozdziale ( Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej ). Stąd prędkość kuli po zderzeniu (odbiciu się od ściany)

Prędkość po odbiciu od ściany jest taka sama jak przed odbiciem, a kąt odbicia jest równy kątowi padania ( Rys. 1 ).

Teraz rozpatrzymy ukośne, sprężyste zderzenie kuli bilardowej poruszającej się z prędkością \( v_{1} \) z drugą identyczną spoczywająca kulą. Takie zagranie stosuje się, żeby skierować wybraną kulę pod pewnym kątem w bok. Dzieje się tak, gdy środek kuli spoczywającej nie leży na linii wzdłuż, której porusza się pierwsza kula. Takie zderzenie jest pokazane na rysunku poniżej ( Rys. 2 ).

Zgodnie z zasadą zachowania pędu i zasadą zachowania energii

lub

Z równań tych wynika, że wektory \( {\bf v}_1 \), \( {\bf u}_{1} \) i \( {\bf u}_{2} \) tworzą boki trójkąta prostokątnego (twierdzenie Pitagorasa) tak jak na Rys. 3.

Oznacza to, że dla dowolnego kąta \( \alpha (0,\pi/2 ) \) po zderzeniu kule będą zawsze poruszały się względem siebie pod kątem prostym. Wartość kąta \( \alpha \) zależy natomiast od tak zwanego parametru zderzenia czyli odległości między pierwotnym kierunkiem ruchu kuli pierwszej, a środkiem kuli spoczywającej.